Felsefede Mantık`ın Tarihsel Gelişimi - Ders Notu

BATI MANTIĞININ DOĞUŞU

İnsanlar bir savı kabul ettirmeye çalışırken karşısındakinin duygularına seslenebilir veya kabul ettirmeye çalıştığı savı süslü sözlerle dile getirmeye çalışabilir. Buradaki akıl yürütmelerde birçok hata ortaya çıkabilir. Bu nedenle düşünce tarihinde düzgün akıl yürütmeleri kendisine konu eden bağımsız bir araştırma alanı olarak mantık ortaya çıkmıştır.

Parmenides ve Zenon

Parmenides varlıkbilimsel bircilik (monizm) düşüncesini en katı biçimiyle ve tüm mantıksal sonuçlarıyla savunan ilkçağ düşünürüdür. “Var olan vardır” ve “Var olmayan var değildir” savları ile Parmenides var olanın yaratılmadığı, yok olmayacağı, öncesiz-sonrasız olduğu ve değişmediği sonuçlarına varmıştır.

Parmenides’in öğrencisi Zenon hocasının birci öğretisini savunmak için ortaya koyduğu çatışkılarla (paradoks) bilinir. Zenon’un ortaya koyduğu çatışkılar bize “hareket” gibi deneyimlerimiz dolayısıyla hakkında çok şey bildiğimizi düşündüğümüz ve kolaylıkla kullandığımız kimi kavramların aslında yanıtlanması güç sorular barındırdığını göstermektedir.

Platon

Batı dünyasında sistemli düşünmenin ilk biçiminin “diyalektik” yöntem olduğu görülmektedir. Genel olarak, önermelerin sonuçlarına göre değerlendirilmesi anlamına gelen bu yöntem matematikte açık adımlarla uygulanmaktadır. Platoncu açıdan matematiğin diyalektiğe göre en büyük eksiği matematikçinin akıl yürütmesinde duyusal olana bağlı kalmaktan kurtulamamasıdır.

Platon “düzgün düşünme ilkeleri” diye kabul edebileceğimiz mantık ilkelerini felsefede ihtiyaç duydukça tartışmış ama bu ilkeleri bir sistem biçiminde sunmayı amaçlamamıştır. Bu nedenle Platon bazı mantık ilkelerini ortaya koymuş olsa da bir mantıkçı olarak anılmaz.

Platon’un kavramların tanımlanmasında bir yöntem olarak ele aldığı bölme (diaeresis) yöntemi Aristoteles mantığının oluşumunda da etkili olmuştur. Bu yönteminde bir kavram daha genel bir kavram aracılığı ile tanımlanmaya çalışılır.

Aristoteles

Mantığın kurucusu kabul edilmektedir. Bunun nedeni ilk kez Aristoteles’in bilinen ilk mantık sistemini ortaya koymasıdır. Onun kurduğu mantık sistemi çağdaş mantığın doğuşuna kadar neredeyse tek mantık sistemi olarak kabul edilmiştir. Aristoteles mantık sistemi Organon adı altında derlenmiştir. Organon’u oluşturan kitapları incelersek:

Kategoriler: Yüklem türlerini ve böylece dolaylı olarak varlık türlerini ele alır. Giriş kısımlarından sonra, Aristoteles belirlediği on kategorinin özelliklerini inceler. Bunlar; töz, nitelik, nicelik, bağıntı, yer, zaman, görelik, etki, edilgi, iyelik kategorileridir.

Aristoteles Kategoriler’de özellikle töz ve nitelik kategorileri üzerinde durur. Töz kavramı daha ilk geçtiği yerde bile, ilk (protai) ve ikinci (deutorai) töz olarak ikiye ayrılır. Bir töz ne bir konu hakkında söylenen ne de bir konu içinde olandır; belirli bir insan veya belirli bir at gibi. Bu şeylerin cinslerine ise, ikinci tözler denir. Örneğin, belirli bir insan, insan türüne aittir ve hayvan bu türün cinsidir. O halde bunların(hem insanın hem de hayvanın) ikinci tözler olduğu söylenir.

Önerme Üstüne: Önermenin tanımını, türlerini ve önermeler arası ilişkileri ele alır. Aristoteles her önermenin özne ve yüklem olmak üzere iki kısımdan oluştuğunu kabul etmektedir.

Yüklemin öznenin hangi kısmına yüklendiğini veya öznenin hangi kısmından yadsındığını açıkça ortaya koymak için, Aristoteles ‘bazı’, ‘her’ veya ‘hiçbir’ gibi niceleyicilere başvurur. Çelişik önermelerin özelliği birlikte doğru veya birlikte yanlış olamamalarıdır.

Topikler: Aristoteles’in diyalektik tartışmalarda izlenecek yöntem üzerine çalışmasıdır. Topikler tartışmanın konusundan bağımsız olarak, tartışmanın amacına olarak izlenmesi gereken yolları belirlemeyi amaçlar. Tanım, özellik, cins ve ilinek yüklenebilirler veya tümeller olarak adlandırılır.

Yüklem öznenin zorunlu olmaksızın sahip olduğu bir özelliği gösteriyor ise, yüklem özneye ait bir ilinektir. Örneğin, insan için ‘beyaz’ bir ilinektir.

Aristoteles bu kitabında aynılığı sayısal, türsel ve cinssel aynılık olarak üçe ayırmaktadır.

Birinci Çözümlemeler: Aristoteles’in tasım sistemini ortaya koymaktadır. Aristoteles’e göre tasım (sullogismos), belirli önermelerin varsayılmasıyla, diğer bir önermenin bu varsayımlardan ötürü zorunlu olarak çıktığı uslamlamadır. 256 çıkarım kalıbı ile yöntemi detaylıca anlatmıştır.

Ona göre mükemmel tasımlar geçerliliği bir tanıtlamaya başvurmadan görülen tasımlardır.

Bir kategorik önermenin evrilmesi önermedeki özne ve yüklemin yer değiştirmesi demektir.

Bir bütün olarak ele alındığında, Birinci Çözümlemeler düzgün akıl yürütmenin “genel” bir sistemini ilk kez ortaya koymuş olmaktadır. Tasım mantığını geliştirme çabasını ortaya koyarken Aristoteles’in değişkenlerin kullanımına başvurmuş olması önemlidir. Önermelerin yapısında gündelik dildeki ifade biçimlerine yönelmesi kendinden sonraki mantık çalışmalarına da büyük yardımı olmuştur.

İkinci Çözümlemeler: Aristoteles’in tanıtlamaya (apodeiksis) dayalı (apodeiktik) bilimlerin yöntemi üzerine çalışmasıdır. Tanıtlama öncülleri özel bazı şartları sağlayan bir tasım türüdür.

Bilim, bilgi (episteme) ortaya koymayı amaçlayan tüm araştırmaları işaret etmektedir. Bu anlamda, bir şeyi bilmek, onun olduğu şey olmasının ve başka bir şey olamamasının gerekçelerini bilmek demektir.

Geçerli bir tasım olmasının yanı sıra, bir tanıtlamanın öncülleri için ayrıca şu şartlar aranmalıdır:

Tasımın öncülleri zorunlu olarak doğru olduğu bilinen tümel önermeler olmalıdır.
Birincil (prota) önermeler olmalıdır.
Dolaysız (amesa) önermeler olmalıdır.
Sonuç önermesi ile karşılaştırıldığında, daha iyi bilinen (gnorimotera) önermeler olmalıdır.
Sonuç önermesinden önce gelen önermeler olmalıdır.
Sonuç önermesinin nedenlerini (aitia) bildiren önermeler olmalıdır.

MEGARA VE STOA MANTIĞI

Sokrates’in bir öğrencisi olan Megara’lı Öklid (matematikçi değil) tarafından kurulan Megara okulu ile Stoa mantıkçıları, hem ele aldıkları mantık sorunları hem de yaklaşım biçimleri bakımından birbirine yakındır.

Megara okulunda başta Diodorus Kronus ve Philo olmak üzere önemli mantıkçılar yetişmiştir.

Yine bu okulda yetişen Eubulides de ele aldığı mantık çatışkıları ile bilinmektedir. Bu çatışkılar bugün bile tartışılan mantık sorunları arasında yer almaktadır: Örneğin: “Şimdi söylediğim yanlıştır” önermesi doğru mu, yoksa yanlış mıdır?

Stoa okulu Megara okulunun bir koludur. Okulun kurucusu Kition’lu Zenon’dur. Stoa mantığının geliştiği ve sistemleştiği dönem Erken Stoa dönemidir.

Aristotelesçiler mantığı felsefenin bir aracı olarak görürken, Stoalılar mantığı etik ve fizik ile birlikte felsefenin parçalarından biri olarak görmüşlerdir. Bir terimler mantığı olan Aristoteles mantığı yerine Stoa mantıkçıları bir önermeler mantığı gelişmişlerdir.

ANLAM ANLAYIŞI

Stoa düşünürleri im (işaret), imlenen (işaret edilen) ve imin anlamını ayırt etmişlerdir. Stoalılara göre im ve imlenen fiziksel nesnelerdir. Anlam ise fiziksel bir nesne değildir. Her imin anlamı bir lektondur. Bir imin anlamı fiziksel bir nesne olmamasının yanı sıra zihindeki bir imge de değildir. Her kişinin zihnindeki imge o kişiye özeldir. Dolayısıyla imge özneldir. Lekton ise nesneldir.

Her imin anlamı nesnel bir şey olan bir lektondur.

Lekton tam ve eksik olmak olmak üzere ikiye ayrılır. Eksik lekton özne (konu) ve yüklemdir.
Tam lekton tek başına bir anlam iken eksik lekton başka unsurlarla tamamlanmayı gerektirir. Mantık bakımından önemli olan tam lekton savlanabilir yani önermedir.

Sorular, ünlemler önermenin dışındaki tam lekton türlerine örnektir. Yargıda bulunma ancak önerme olan bir lekton ile gerçekleştirilebilir.

STOA MANTIĞINDA ÖNERMELER

Bir önermeler mantığı geliştirirken Stoa mantıkçıları önerme eklemleri üzerinde durarak, önermelerin özelliklerini ve önermeler arasındaki ilişkileri belirlerken önerme eklemlerini göz önünde bulundurmuşlardır.

Megara-Stoa mantıkçılarının üzerinde durduğu kipler olanaklılık, olanaksızlık, zorunluluk ve zorunsuzluk kipleridir.

Olanaklı, önermenin kendi doğası gereği, doğru olabilendir…
zorunlu, doğru olan ve kendi dışında bir etki olmadığında, yanlış olamayandır.
Zorunsuz, kendi dışında bir etki olmadığında, yanlış olabilen
olanaksız ise doğası gereği doğru olamayandır.

Stoa mantığa önemli bir katkısı da kipli önermelerin yorumlanması konusundadır. Stoa mantıkçıları kip kavramlarını tanımlamaya yönelmeleri tutarlı bir kipli önermeler mantığının oluşmasına yönelik bir adım sayılmalıdır.

Diodorus’a göre: Olanaklı, ya doğru olan ya da doğru olacak olan; olanaksız yanlış olan ve doğru olmayacak olan; zorunlu doğru olan ve yanlış olmayacak olan; zorunsuz ise ya çoktan yanlış olmuş veya yanlış olacak olandır. Bu tanım onun doğruluk ve yanlışlığı zamana bağlı gördüğünü açıkça göstermektedir.

Stoa mantığında kiplerin Megaralı Philo ve Diodorus’un kip anlayışları doğrultusunda ele alındığı anlaşılmaktadır. Laertius’a göre Stoalılar şu bileşik önermeler üzerinde durmuşlardır:

“İse” ifadesi ile oluşturulan koşul önermeleri
“Ve” ifadesi ile oluşturulan tümel-evetleme önermeleri
“Veya” ifadesi ile oluşturulan tikel-evetleme önermeleri
“Olduğuna göre” ifadesi ile oluşturulan sözde-koşullu önermeler
“Çünkü” ifadesi ile oluşturulan sebep-sonuç önermeleri
“Daha çok” ifadesi ile oluşturulan önermeler
“Daha az” ifadesi ile oluşturulan önermeler.

STOA MANTIĞINDA ÇIKARIMLAR

Stoa mantıkçıları çıkarımı “öncüller ve sonuç önermesinden oluşan bir sistem” olarak tanımlamaktadır. Öncüller sonuç önermesine ulaşabilmek için kabul edilmiş olan önermeler, sonuç önermesi ise öncüllerin ortaya koyduğu önermedir.

Stoa mantıkçıları çıkarımları önce geçerli ve geçersiz olarak, geçerli çıkarımları doğru ve yanlış olarak ayırdıktan sonra, özel birtakım şartları sağlayan doğru çıkarımların tanıtlayıcı çıkarımlar olarak belirlemişlerdir.

Bir çıkarımın geçerli olması (yani Stoa mantığındaki anlamıyla bir tasım olması), çıkarımın öncüllerinin tümel-evetlemesi ile sonuç önermesinden oluşan koşul önermesinin her zaman doğru olmasıdır. Bir çıkarım hem geçerli hem de tüm öncülleri doğru ise, bu çıkarımın da doğru bir çıkarımdır.

ORTAÇAĞ İSLAM COĞRAFYASINDA MANTIK

Bu coğrafyada ilk mantık çalışmalarını yapanlar, Büyük İskender’in (MÖ 356 – 323) doğu seferi sonrasında Yunan kültürü ile tanışan Hıristiyan Süryanilerdir. Önceleri ‘Arami’ olarak bilinen bu topluluk, Hıristiyanlığı kabul ettikten sonra aynı bölgede yaşayan putperest topluluklardan ayrılmak için kendilerini ‘Süryani’ olarak adlandırmıştır.

İskenderiye Okulunun ilk önde gelen felsefe ve mantıkçıları Peripatetikler (Antik dönem Aristoteles yorumcuları) olmuştur.

Süryani mantıkçılar Süryanilerin dini okullarında yetişmiştir. Örneğin Urfa Okulu Süryani mezheplerinden biri olan Nastûrîliğin yayıldığı okuldur. 489 yılında Urfa’daki okulun kapatılmasından sonra Nusaybin Nastûrîliğin dini merkezi olmuştur.Süryaniler mantığın şu bölümlerden oluştuğunu kabul etmektedirler:

Kategorilere Giriş (İsagoji),
Kategoriler,
Önerme Üstüne (Peri Hermenias),
Birinci Çözümlemeler
İkinci Çözümlemeler
Diyalektik (Topika)
Sofistik Çürütmeler
Hitabet Sanatı (Retorika)
Şiir Sanatı (Poetika).

FETİHLERDEN SONRA İSLAM COĞRAFYASINDA MANTIK

Müslümanların mantık bilimiyle tanışması Süryaniler aracılığı ile gerçekleşmiştir. Müslüman düşünürler mantığın inançla ilgili konulardaki tartışmalarda etkili olabileceklerini fark etmişlerdir. Bu ilginin sonucunda Süryaniler Yunancadan ve Arapçaya Peripatetik mantık eserlerinin çevrilmesi etkinliğine girişmiştir. Çeviri etkinliğinin belirli bir aşamaya ulaşmasının ardından (10yy Bağdat), bilinen mantık yapıtlarının Arapça yazan mantıkçılar tarafından yorumları (şerhleri) yapılmaya başlamıştır.

Bu yorumlar uzunluğuna göre üçe ayrılmaktadır:

Muhtasar (kısa şerh) olanlar: özgün yapıtın ana düşüncelerini ortaya koymayı amaçlamaktadır ve genellikle yorumlanan (şerh edilen) yapıtın yarısı kadar uzunluktadır.
Telhîs olanlar: yorumlanan yapıtın ifadelerini büyük ölçüde yeniden ifade etmekte ve gerektiğinde ek açıklamalara yer vermektedir.
Tefsîr olanlar: yorumlanan yapıtın tamamını parçalar halinde ifade etmekte ve her bir parçanın ayrıntılı bir açıklamasını ortaya koymaktadır.

İslam dünyasında ilk büyük felsefe okulu olan Bağdat okulunun en önemli temsilcisi, bu okulda yetişmiş belki de tek Müslüman olan Fârâbî’dir.

Fârâbî

Bağdat okulunun bir temsilcisi olan Farabi ilk büyük Müslaman mantıkçıdır. Fârâbî’nin en büyük başarısı, Aristoteles mantığını metinlerine bağlı kalarak İslam düşüncesine yakın bir anlayışla yorumlayabilmesidir. Böylece Aristoteles’ten sonra gelen öğretmen anlamında ‘İkinci Öğretmen’ olarak adlandırılmıştır.

Fârâbî’ye göre mantık kuralları hataya düşülmesi olanaklı her konuda akıl yürütmemizi doğru yönde tutmaktadır. Bir dilin sözdizimi o dilin doğru kullanılmasının kurallarını, mantık ise (her dilde) doğru akıl yürütmenin kurallarını belirler

Fârâbî mantığı, tasavvurât (kavramlarla akıl yürütmeler) ve tasdîkât (önermelerle akıl yürütmeler) olarak iki kısma ayırmıştır. İlkinde amacın tanımlara ulaşmak olduğunu, ikincisinde ise tasımlara ulaşmak olduğunu belirtmiştir.

İbn Sînâ

İbn Sînâ mantık çalışmalarının önemli bir kısmına ‘Kitâbu’ş-Şifâ’ başlığı altında derlediği ansiklopedik çalışmasında yer vermiştir. İbn Sînâ Aristoteles mantığının sorunlarını bağımsız bir mantık anlayışı içinde çözümleme ve çözmeye yönelmiş, böylece İslamda yeni bir mantık anlayışı doğmasının yolunu açmıştır.

Göreli kavramlar, birlikte bilinen (aynı anda bilinen) kavramlardır. Dolayısıyla birbirine göreli kavramlardan biri bilinmiyorsa diğeri de bilinmiyor demektir. Tanımın şartlarından biri, tanımda kullanılan kavramların tanımlanan kavramdan önce bilinmesidir. Böylece bir kavramı tanımlarken, onunla göreli bir kavramın kullanılmaması gerektiği anlaşılır.

İbn Sînâ’nın bu soruna yaklaşımı onu kipli önermelerin yorumlanmasında, Latin mantığında olmayan, öze göre (zâtî) ve nitelemeye göre (vasfî) okuma ayrımı yapmaya götürmüştür:

Öze göre okumada ‘A zorunlu olarak B dir’ önermesi ‘A öznesinin gösterdiği varlık varolduğu sürece B olma özelliğini taşır’ anlamına gelmektedir.
Nitelemeye göre okumada ‘A zorunlu olarak B dir’ önermesi ‘A, A olduğu sürece, B olma özelliğini taşır’ biçimine dönüşür.

İbn Sînâ’nın yaptığı bu ayrıma göre, ‘Yürüyen zorunlu olarak hareket eder’ önermesi öze göre (zâtî) yorumlandığında yanlış olur. Çünkü yürüyen varlığın varolduğu sürece hareket edeceğini söylemek doğru değildir. Aynı önerme nitelemeye göre (vasfî) yorumlandığında ise doğru olur.

Gazâlî

Gazâlî (1100s) mantık çalışmalarından daha çok, etkili bir İslam düşünürü olarak mantığın saygınlığına yaptığı katkı ile bilinir. Gazâlî’nin bilginin kesinlik derecesine göre ele aldığı öncüller şunlardır:

Doğuştan öncüller (evveliyât): Aklın duyular yardımı olmaksızın ulaştığı bilgilerdir. Bir insan gerektiğinde sadece doğuştan edindiği düşünceler yardımıyla bu doğrulara ulaşabilir. Matematik doğruları, ‘Bütün parçadan büyüktür’ gibi en temel metafizik doğrular bu türdendir.

Duyu öncülleri (mahsûsât): İnsanın iç ve dış duyum ile edindiği bilgilerdir.
Deneyim öncülleri (mücerrebât): İnsanın sık tekrarlanan deneyimler karşısında aklının yardımıyla bir sonuca varmasıyla elde ettiği bilgilerdir. Suyun susuzluğu giderdiğini bilmek mesela.
Sezgi öncülleri (hadsiyyât): Aklın hızlı bir şekilde sonuç çıkararak ulaştığı bilgilerdir. ‘Ay ışığını güneşten alır’ önermesi örneğin.
Kendinden öncüller (fıtriyyât): Aklın hemen bir orta terime varıp bu terim aracılığı yaptığı bir tasımla ulaştığı bilgilerdir. ‘İki sayısı altı sayısının üçte biridir’ örneğin.
Aktarılmış öncüller (mütevâtirât): Akla dayanarak güvenilir olduğuna karar verilen bir topluluğun sözü ile elde edilen bilgilerdir. Mekke’nin varlığını bilmek bu türden bilgidir.
Yaygın öncüller (meşhûrât): Toplumda yaygın olarak kabul edildiği, sık tekrarlandığı için doğru kabul edilen önermelerin ifade ettiği bilgilerdir. ‘Adalet gereklidir’ önermesinin bilgisi bu türdendir.
Yetkinlik öncülleri (makbûlât): İlgili konudaki bir uzman gibi güvenilir bir kaynağın sağladığı bilgidir. Öğrencilerin iyi bir öğretmenin ilgili derste söylediği bir sözü doğru kabul etmeleri bu türdendir.
Sanı (zan) öncülleri (maznûnât): Yanlış olma olanağını ortadan kaldıramadığımız halde, doğru kabul edilen önermedir.
Ara öncüller (müşebbihât): Akıl bilgisine de, deneyim bilgisine de, yaygın bilgiye de benzeyen ama bunlardan hiçbiri olmayan bilgilerdir.
Uzlaşım öncülleri (müsellemât): Tartışma sırasında karşı tarafın kabul ettiği ya da tarafların karşılıklı olarak kabul ettiği, genel kabul görmüş önermelerin ifade ettiği bilgilerdir.
Kuruntu öncülleri (vehmiyyât): İnanmak için geçerli bir neden olmadan insanın yaradılışı gereği doğru kabul ettiği önermelerin ifade ettiği bilgilerdir.
İmge öncülleri (muhayyelât): İmgelemin (düşgücünün) ürünü olarak insanın kabul ettiği önermelerin dile getirdiği bilgilerdir. Hoşa gitmeyen birinin adını taşıdığı için, bir insandan sakınmak gerektiğini bildiren öncül bu türdendir.

Kabul ettikleri öncüller bakımından tasımın yer bulduğu beş sanat ayırt edilmektedir:

Tanıtlama (burhan)
Diyalektik (cedel)
Retorik (hitabet)
Poetika (şiir)
Yanıltmaca (sofizm, mugalata)

Bunlardan ilk iki türde olan bilgiler kesindir (yakini). Kesin öncüllerle yapılan tasım ise tanıtlamadır (Burhani kıyas). Tartışmada (diyalektik, cedel) öncüller yaygın önermelerden oluşur. Retorikte yetkinliğe veya sanıya başvurulur. Poetik tasım, imgeye dayalı öncüllerle kurulan tasımdır. Yanıltmacada doğru olmadığı halde doğru gibi görünen öncüllerden hareket edilir.

Gazâlî’nin felsefecilere (özellikle meşşâî felsefecilerin bazı görüşlerine) karşı tutumu ise Felsefecilerin Tutarsızlığı ile açıkça ortaya koyduğu gibi olumsuzdur. Bu görüşünü bağdaştırmak için mantığın felsefeden ayrı olduğu görüşünü benimsemiş ve büyük ölçüde kabul ettirmiştir. Mantık felsefenin veya bir başka bilimin bir kısmı olmayıp her bilim için bir araçtır.

Gazâlî’nin başvurduğu bir diğer sav da mantığın din, bilim, felsefe gibi hiçbir konuda olumlu ya da olumsuz bir yargı içermediğidir.

İbn Rüşd

İspanya Müslümanlarının kurduğu Endülüs devleti topraklarında yaşamış felsefecilerin en etkilisi İbn Rüşd’tür (1126-1198). Latinlerin ‘Averroes’ diye adlandırdıkları İbn Rüşd Bağdat okulu anlayışına dönerek, Aristoteles mantığını metinlere bağlı kalarak yeniden yorumlamaya girişmiştir. Bağdat Okulu geleneğini sürdüren pek çok düşünür gibi İbn Sina’yı eleştirmiştir.

Ancak en iyi bilinen eleştirisini Tutarsızlığın Tutarsızlığı ile Gazâlî’ye yöneltmiştir. Felsefenin din ile bağdaştığını, Müslümanların pagan İlkçağ felsefecilerinden faydalanmasının olanaklı olduğunu savunmaktadır.

İslam Dünyasında Mantığa Yöneltilen Eleştiriler

Bu eleştirilerin bir kısmı, nedenleriyle birlikte ilk Müslüman mantık tarihçisi sayılabilecek İbn Haldun (1380s) tarafından açıklıkla ifade edilmektedir. Mantıkçıların dayanağı olan, tümellerin zihin dışındaki varlığı, kelam bakımından geçersizdir. Böylece mantıktan geriye tanıtlama (burhan) değil, sadece biçimsel tasım ve tanımla ilgili bazı genel ilkeler kalır.

Gazâlî sonrasında mantığa karşı şüpheci tutumun en dikkat çekici örneğini İbn Teymiyye vermektedir. Eleştirilerinin bir kısmı şu şekilde özetlenebilir:

Aristoteles’ten önce de pek çok düşünür tutarlı düşünceler ileri sürmek bakımından, mantığın kurulmasından sonra gelen düşünürlerden aşağı kalmamaktadır. Müslüman din bilginleri mantığı tanımadan önce de din bilimi yapmışlardı.
İbn Teymiyye’nin karşı çıkışı felsefe ve mantığın din ile ilgili konularda, dini bilimlerde kullanılmasına yöneliktir. Dindışı konularda, matematik, fizik, tıp gibi konularda mantıkçı-felsefecilerin bilgilerine başvurmakta sakınca olmadığı düşüncesindedir. İbn Teymiyye’ye göre din konularında nasıl akıl yürütüleceği Kur’an’da ortaya konmuştur.

Beş sanat konusunda Gazali’nin açıklamalarına bakarak Teymiyye’nin Gazali’ye ve onun kişiliğinde mantığa yönelttiği eleştirilerin bir nedeni daha kolaylıkla anlaşılabilir. Mantıkçıların tanıtlamanın kesin bilgiye ulaştırmak bakımından diğer sanatlara göre üstün olduğu düşüncesi kabul edildiğinde, dini bilimlerde çoğu zaman kesin bilgiye ulaşılamayacağı sonucu çıkar.

ORTAÇAĞ AVRUPASINDA MANTIK

Ortaçağ Latin mantığının gelişiminin ikinci önemli kısmı ise Ortaçağ Latin mantıkçılarının benimsedikleri Aristotelesçi mantık anlayışına yeni düşünceler ekleyerek kendi mantık anlayışlarını ortaya koymalarıdır. Sonuçta ortaya çıkan mantık sistemi ‘Skolastik mantık’ olarak adlandırılmaktadır.

ARİSTOTELES’İN MİRASI

Bu dönemde mantık geleneğinin canlı kalmasını sağlayan Benedikten manastırlarındaki eğitim olmuştur. Oxford, Paris ve Bolonya başta olmak üzere 13. yüzyılın başından itibaren üniversiteler oluşmaya başlamıştır. Stoa mantığı Ortaçağ Latin mantıkçılarının doğrudan ilgisini çekmemiş görünmektedir.

Yeni Platoncular bile önce kendi mantık anlayışlarını geliştirmeyi çabalayıp bunda başarılı olamayınca Aristoteles mantığının ilkelerini benimsemek zorunda kalmışlardır. Aristoteles mantığının egemenliği ancak doğa biliminde de yeni yöntem arayışlarının hız kazandığı Rönesans hareketi sırasında sarsılmıştır.

Ortaçağın ilk büyük mantıkçısı Petrus Abelardus’dur. Dialektika’yı yazmıştır. Abelardus kipli önermelerin yorumlanmasında de re ve de dicto olarak ayırımını açıkça ortaya koymuştur (De dicto söylenene ilişkin, de re ise şeye ilişkin demektir). Zaman kipli (tensed) önermelerin yorumlanmasına olanak vereceğini fark ederek Abelardus önermelerin ‘belli bir zamanda doğru olması’ kavramını ortaya atmıştır.

Albertus Magnus’un (Büyük Albert, yaklaşık 1250) ansiklopedik çalışması ortaçağ düşünürünün bu noktaya gelindiğinde sahip olduğu mantık mirasını belgelemektedir.

SKOLASTİK MANTIĞIN ANAHATLARI

Gönderme Kuramı: Akıl yürütmeler önermelerden, önermeler de terimlerden oluştuğuna göre mantık için terimlerin incelenmesi temeldir.

İmleme (signification) bir terimin bir şeyi (bir bireyi ya da bir tümeli) göstermek üzere atanmış olması, en azından bir şeyi gösterebilme özelliğine sahip olmasıdır. Bir şeyin kendi başına ya da diğer terimlerle birlikte imlemli (significant) olması o şeyin bir terim olmasının gereğidir.

Ockham’lı William (1287-1347) ve diğer adcı düşünürlere göre bir sözcüğün imlemi o sözcüğün doğru olarak yüklenebileceği tikellerden oluşur. Genel bir terimin bir özel addan farkı form veya özellik gibi farklı bir türden bir şeyi imlemesi değil, birden çok tikele yüklenebilmesidir.

Özellikle geç dönem Ortaçağ mantıkçılarının çoğuna göre terimin göndermesi ancak bir önerme içinde özne (konu) veya yüklem olarak kullanıldığında gerçekleşir. Gönderme (supposition) imlemli (significant) bir terimin bir önerme içinde kullanılarak önermede bir şeyin yerini tutmasıdır.

Skolastik mantıkta göreliğin (relation) konusu göreli terimlerin gönderimidir. Göreli terimler anlaşılması başka terimlerin anlaşılmasına bağlı olan terimlerdir. ‘O’, ‘onun’, ‘kendisi’ gibi terimlerin gönderimi ancak önermede daha önce geçen terimlerin gönderimine göre belirlenir.

Sinkategoremata: Ortaçağ batı mantıkçılarının önemli bir katkısı kategoremata-sinkategoremata ayrımını yapmalarıdır. Kategorematik terimler özne ve yüklem konumunda geçen terimler, sinkategorematik terimler ise önermeyi oluşturan diğer terimlerdir.

Çağdaş mantık formalizminde iki tür ifade ayırt edilmektedir: Değişkenler ve mantık değişmezleri. Bu formalizmdeki değişkenler kategorematik terimlere, değişmezler ise sinkategorematik terimlere karşılık gelmektedir.

Sophismata ve Insolubilia: Mantık bilmeceleri olarak yorumlayabileceğimiz kavramlardır. Sophism herhangi bir bilmece değil bir mantık bilmecesidir. Genel mantık bilmeceleri de çoğu zaman önermelerde ve akıl yürütmelerde geçen sinkategorematik ifadelerle ilgilidir.

Düz anlamıyla ‘insolubilia’ sözcüğü ‘çözülemezler’ anlamına gelmektedir. Skolastik mantıkçılar bu başlık altında Antikçağdan beri mantıkçıların ilgisini çeken mantık çatışkılarını ele almışlardır.

‘Şimdi söylediğim şey yanlıştır’ önermesinin bir parçası olan ‘şimdi söylediğim şey’ ifadesi önermenin kendisi hakkında yanlış olduğunu söylemesine neden olmaktadır. Dolayısıyla bu önermenin doğru olması ancak aynı zamanda yanlış olmasıyla olanaklıdır.

Obligationes: Ortaçağ batı mantığının tartışma biçimleri ve tartışma kuralları ile ilgili bölümüdür. Altı tür obligatio ayırt edilmektedir. Consequentia Ortaçağ batı mantığının çıkarımların incelendiği bölümüdür.

Ockham’ın Summa Logicae’de ele aldığı consequentia içinde birkaçı şunlardır:

Doğru bir şeyden yanlış bir şey çıkmaz.
Yanlış önermelerden doğru bir önerme çıkabilir.
Sonucun karşıtından öncülün tümünün karşıtı çıkar.
Sonuçtan çıkan bir şey öncülden de çıkar.
Öncülün çıktığı bir şeyden sonuç da çıkar.
Öncül ile tutarlı olan bir şey sonuç ile de tutarlıdır.
Sonuç ile bağdaşmayan bir şey öncülle de bağdaşmaz.
Tümel-evetlemeli önermenin çelişiği tümel-evetlenen önermelerin çelişiklerinin tikel-evetlemesidir.
Tikel-evetlemeli önermenin çelişiği tikel-evetlenen önermelerin çelişiklerinin tümel-evetlemesidir.

Bu sonuçların çağdaş önermeler mantığının da ilkeleri olması dikkat çekicidir.

14. VE 19. YÜZYILLAR ARASINDA MANTIK

Rönesans hem 14. ve 17. yüzyıllar arasındaki tarihsel dönemi hem de İtalya’da başlayarak buradan Avrupa’ya yayılan yeni bir Avrupa düşüncesini göstermektedir. Bu yeni düşüncenin kaynağı Antik Çağ’ın ve Roma Dönemi’nin sanat, felsefe ve mimarisidir. Rönesans ile birlikte gelen eleştirel düşünce ortamı sonucunda Avrupa düşüncesi köklü bir değişime uğramıştır. Bu değişim sonunda eğitimde Kilise’nin etkisinin azalmasına, düşünce dünyasında Latince’nin egemenliğini kaybetmesine; İngilizce, Fransızca ve Almanca gibi dillerin güçlenmesine kadar varmıştır.

Rönesans ve ardından gelen modern dönem boyunca, Antik Çağ’ın Skolastik yorumunun yanıltıcı ve kısıtlayıcı olduğu düşüncesi yaygındır.

Retorik (hitabet sanatı) uzun dönem biçimsel mantığa dayalı akıl yürütmenin yerini almıştır. Aristoteles’in Ortaçağ boyunca süren egemenliğine tepki olarak, bu dönemin pek çok düşünürü Aristoteles’in mantığını neredeyse tümüyle yanlış saymaktadır. Bu mantık ancak deneyimle elde edilen sonuçların düzenlenmesi işine yarayabilir.

14. yüzyılın ortasından 17. yüzyıla kadar ne İslam coğrafyasında ne de Latin dünyasında mantık konusunda sistemli ve yaratıcı çalışmalar görülmez. Özgün bir mantıkçı olmamakla birlikte, yaşadığı önemde Latin dünyasında mantık çalışmalarıyla en dikkat çeken düşünür Petrus Ramus’tur

Belki de hocalarının isteği doğrultusunda, yazdığı tez çalışmasında (Aristotelicae animadversiones) “Aristoteles’in söylediği her şey bir yalanlar yığınıdır” savını savunmuştur. Ramus üniversitelerdeki felsefe programında Aristoteles’in etkisinin azaltılmasını amaçlayan bir düzenlemeyi savunmuştur.

Aristoteles mantığını temel alan Skolastik mantığı bu bakımdan yetersiz bularak eleştiren düşünürlerin başında Francis Bacon (1561-1626) gelmektedir. Aristotelesçi tümdengelimli mantık anlayışını eleştiren Bacon, doğa araştırmasında tümevarımın kullanılması gerektiğini savunmaktadır.

Bacon’ın Aristoteles mantığını doğa bilimi bakımından niçin yetersiz bulduğunu anlayabilmek ise kolaydır: Bir etkinlik olarak doğa biliminin amacı buluştur. Dolayısıyla eğer bir mantık sistemin doğa bilimine bir faydası olacaksa bu mantık sisteminin buluşun ilkelerini belirleyen kurallardan oluşması gerekir. Aristoteles mantık sistemi bu gereği yerine getirmediğine göre doğa araştırmasında bu mantık sistemine başvurulamaz. Bacon’a göre yeni bilgi edinmenin yolu tikel deneyimlerden yola çıkarak sonuca varmayı gözeten tümevarıma başvurmaktır.

Kendisi bir mantık sistemi kurmayıp mantık konusunda önemli görüşler ileri süren bir diğer felsefeci de Thomas Hobbes’tur. Hobbes’a göre, akıl yürütmeler ifadelerin anlamlarını belirleyen uylaşımlara dayanmaktadır. Hobbes akıl yürütmelerin gelip dayandığı sonul (nihai) doğruların uylaşıma (ing. convention) dayandığı görüşünü ortaya atmıştır. Bu görüşün temelinde terimlerin anlamını uylaşım yoluyla kazandığı düşüncesi bulunmaktadır.

Hobbes (daha sonra Leibniz’in de savunduğu gibi) uslamlamayı bir hesaplama olarak görmektedir. Hesaplama birbirine eklenen birçok şeyin toplamını almak veya bir şey diğer bir şeyden çıkarıldığında geriye ne kaldığını bilmektir. O hâlde, uslamlama da toplama ve çıkarma ile aynı şeydir.

Orta Çağ’dan 19. yüzyıla kadarki dönemde yazılan en önemli mantık metinlerinden biri Antoine Arnold (1612-1694) ve Pierre Nicole (1625-1695) tarafından yazılan ve yaygın olarak Port Royal Mantığı olarak bilinen Mantık ya da Düşünme Sanatı’dır. Port Royal mantıkçıları bilimin yöntemine ilişkin genel kurallar ortaya koymayı amaçlamıştır.

Sıralanan kuralların her biri Descartes’ın ‘Aklın Yönetimi İçin Kurallar’ adlı bitmemiş yapıtında geometriyi model alarak önerdiği kurallara benzemektedir. Tümü sağduyuya uygun olsa da bu genel geçer kurallar doğa bilimlerindeki araştırma için bulgu ve buluş yöntemi olarak iş göremeyecekleri düşünülebilir.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Ortaçağdan sonra gelen en önemli mantıkçıdır. Leibniz yeterli neden ilkesinin “insanın bilgisi içinde en görkemlisi ve en verimlisi olduğunu, çünkü metafiziğin, fiziğin ve ahlâk bilgisinin büyük bir bölümünün bu ilke üzerine kurulduğunu” belirtmektedir.

Leibniz ayrıca geleneksel mantığı izleyerek tüm önermelerin özne-yüklem önermeleri olduğu düşüncesini de benimsemektedir. Buna bağlı olarak, kabul ettiği doğruluk tanımına göre bir önermenin doğru olması önermenin yükleminin öznesinin bir şekilde “içinde” olması demektir. Leibniz ortaya attığı “olanaklı dünya” ve “evrensel dil” gibi kavramlarla Russell ve Carnap gibi çağdaş mantıkçıları da etkilemiştir.

Leibniz ile birlikte çağdaş mantığın doğuşunu hazırlayan düşünürlerden biri de matematikçi, felsefeci ve aynı zamanda bir din adamı olan Bolzano’dur. Bolzano’ya göre matematik kuramları (ve diğer bilimlerdeki kuramlar) belit sistemleri biçiminde ortaya konmalı, önermelerin kanıtlanması sonunda belitlere dayandırılmalıdır. Bu konuda Bolzano’nun getirdiği en önemli yenilik belitlerin (sistemin başlangıç önermelerinin) belirlenmesinde apaçıklık gibi ölçütler koymamasıdır.

İngiliz mantıkçı ve matematikçi George Boole (1815-1864) çağdaş matematiksel mantığın ortaya çıkmasını sağlayan düşünürlerden biridir.

Mill’in önemi Bacon’dan beri deneyci felsefenin amacı olan tümevarımlı mantık görüşünü sistemleştirmesidir. Mill’e göre, dolaysız ve dolaylı bilgi olmak üzere iki tür bilgi vardır: Birinci türden bilgi, sezginin veya bilincin sağladığı bilgidir. İkincisi ise daha önceki bilgilerimizden akıl yürütme ile elde ettiğimiz bilgidir. Sezgi bilgisi akıl yürütmelerin başlangıcını oluşturan bilgi olması bakımından önemlidir.

Ona göre tümevarım tikel bir durum veya tikel durumlar hakkında doğru olduğunu bildiklerimizin bu durumlarla belirli ve kendilerine de uygulanabilen bakımlardan benzeşen tüm durumlarda doğru olacağını çıkarsadığımız akıl işlemidir. Bir başka deyişle, tümevarım bir sınıftaki belirli bireyler için doğru olanın bu sınıftakilerin tümü için doğru olduğunu veya belirli zamanlarda doğru olanın benzer koşullar altında tüm zamanlarda doğru olacağı sonucunu çıkardığımız işlemdir. Sezgi bilgisi dışındaki tüm bilgi tümevarıma dayalıdır.

Osmanlı’da ise mantık konusunda en önde gelen İsmail Gelenbevi’dir (1730-1790).

ÇAĞDAŞ MANTIK

Mantığın bu dönemdeki hızlı gelişiminin en önemli sonucu çözümleyici (analitik) felsefenin doğuşudur.

Bu dönemde mantık çalışmalarının artışına yol açan en önemli etken matematiğin temelleriyle ilgili tartışmalardır. Hızla gelişen matematikte özellikle “sonsuz” kavramı ile ilgili ortaya çıkan çatışkılar (paradokslar) matematiğin daha “güvenli” bir etkinlik olarak yeniden oluşturulmasının gerekli olduğu düşüncesini doğurmuştur. Çoğu matematikçi-mantıkçı için bunu başarmanın yolu matematik kuramlarının belitsel (aksiyomatik) sistemler olarak yeniden kurulması ve böylece matematiğin zihnin sınırları belirsiz “sezgi” yetisine bağlı olmaktan çıkarılmasıdır.

Alman matematikçi Gottlob Frege (1910) çağdaş mantığın kurucusudur. Frege geometri doğruları için bu Kantçı tutumu kabul etmiştir. Aritmetiğe gelince, çalışmalarının son dönemine kadar aritmetik doğrularının analitik doğrular olduğunu savunmuştur. Frege için bir doğru önermenin analitik olması, o önermenin tanımlar ve mantıksal çıkarım kuralları ile elde edilebilmesi demektir.

Frege’nin “mantıkçılık” (ing. logicism) olarak adlandırılan, sıklıkla aritmetiğin mantığa indirgenmesi biçiminde de dile getirilen programının ana hatları bunlardır. Frege’nin de kabul ettiği evrenselci mantık anlayışına göre mantık konu-bağımsızdır ve bu sayede her konuya uygulanabilir. Yani, bir çıkarımın mantık bakımından geçerli olması uygulandığı konu, bir başka deyişle çıkarımı oluşturan önermelerde adı geçen nesnelere, özelliklere vs dayanmaz.

ÇAĞDAŞ MANTIĞIN GELİŞİMİ VE YAYGINLAŞMASI

İngiliz felsefeci Bertrand Russell 20. yüzyılın en etkili düşünürlerinden biridir. Bu alanda en önemli eseri Whitehead ile birlikte yazıp hacimli üç cilt hâlinde yayımladıkları Principia Mathematica’dır

Russell Matematiğin İlkeleri üzerine çalışırken her özelliğin bir küme belirlediği varsayımına dayanan naif küme kuramının bir çatışkıya yol açtığını fark etmiştir ve düzeltmeye çalışsa da başaramamıştır.

Russell ayrıca ağıntılar mantığının kullanışlı bir sistem olmasını engelleyen sınırlılıklarını aşarak genelleştirmeyi başarmıştır. Böylece Leibniz’den beri bir sorun olarak duran gündelik dildeki karmaşık önermelerin mantıksal çözümlemesinde önemli bir ilerleme elde edilmiştir.

Russell’ın çağdaş mantığın yaygın kullanımı açısından büyük önem taşıyan bir başarısı niceleme mantığının gösterimini (notasyonunu) daha kolay anlaşılır hâle getirmesidir.

Gödel ve Matematiğin Sınırları

Tamlık Teoremi: Hilbert ve Ackerman ilk kez 1928’de yayımlanan Grundzüge der Theoretischen Logik (Matematiksel Mantığın İlkeleri) içinde, birinci-basamak mantık için bir belit sistemi ortaya koymuştur.

Buna göre dilinin alfabesi şu sembolleri içermektedir. Önerme değişkenleri X, Y, Z,… Birey değişkenleri x, y, z,… Bağıntı sembolleri F, G, H,… Önerme eklemleri: ~ (değilleme eklemi), ∨ (tikel-evetleme eklemi) Niceleyiciler: ∀ (tümel niceleyici), ∃(tikel niceleyici). Hilbert bu sistemin her geçerli önermesinin (yani her modelde doğru olan her önermesinin) burada verdikleri kanıt sisteminde kanıtlanabilir olup olmadığı sorusunu yöneltir. Gödel bu soruyu, bir yıl sonra, 1929 yılında tamamladığı doktora tezinde olumlu olarak yanıtlar.

Eksiklik Teoremleri: Gödel’in adının mantık dünyasında ve başta felsefe olmak üzere, diğer alanlarda sıklıkla anılmasını sağlayan başarısı eksiklik teoremleridir. Peano aritmetiği de denilen, doğal sayılar aritmetiği için Richard Dedekind’in (1831-1916) verdiği ve Peano-Dedekind sistemi olarak bilinen belit sistemini göz önünde bulundurabiliriz. Gödel`in eksiklik teoremi matematik ve mantık alanında önemli bir dönüm noktasıdır. O mantık ve matematik dünyası dışında da yaygın tanınmasını sağlayan pek çok önemli sonuca ulaşmıştır. Bunlar arasında, birinci basamak niceleme mantığının tamlığının kanıtlanması, Peano aritmetiğinin (ve Peano aritmetiğini içeren her biçimsel sistemin) eksikliğinin kanıtlanması, süreklilik varsayımının küme kuramı ile tutarlı olduğunun kanıtlanması, seçme belitinin küme kuramından bağımsız olduğunun kanıtlanması en iyi bilinenleridir.

Çeşitli Mantık Sistemlerinin Gelişmesi

Çoklu-değerli mantıklar, sezgici mantıklar ve diğer bazı mantık sistemlerinin özellikleri mantık felsefesinde önemli bir tartışma konusunu oluşturmakla birlikte, bu sistemler felsefede yaygın kullanılmamaktadır. Kipli mantık sistemlerine ise (özellikle çağdaş çözümlemeli felsefede) bu diğer mantık sistemlerine oranla daha yaygın başvurulmaktadır.

Kipli mantık sistemlerinin doğmasının ardında gündelik dilde “ise” koşul ekleminin yaygın mantıkta kimi zaman “zayıf gerektirme” diye adlandırılan yorumuna yönelik eleştiriler yatmaktadır.

Bunlar ve benzeri sonuçlara rağmen, koşul ekleminin doğruluk tablosu ile belirlenen anlamının matematikteki uslamlama bakımından yeterli olduğu onanabilir. Ancak zayıf-koşul çatışkılarının sonucu olarak, koşul önermelerinin genel uslamlama edimlerimizle bağdaşacak biçimde yeniden yorumlanması gerektiğini düşüncesi ortaya çıkmıştır.

Koşul ekleminin farklı yorumlanması gerektiği düşüncesini temel alarak bir mantık sistemi geliştiren ilk çağdaş mantıkçı Clarence Irving Lewis (1883-1964) olmuştur.

Çağdaş mantıkçılar arasında kipli mantık için kullanışlı ve sağduyusal bir yorum (semantik) geliştirmeyi ilk başaran Rudolf Carnap’tır. Carnap’ın kipli semantiğinde başvurduğu temel kavram “durum betimlemesi” kavramıdır. Durum betimlemesi kavramı Carnap’a göre Leibniz’in “olanaklı dünyalar” ya da Wittgenstein’ın “olanaklı olgu durumları” kavramlarıdır.

Bir durum betimlemesi her bir p atomik önermesi için ya p önermesinin ya da ~p önermesinin (ikisi birden olmamak koşuluyla) yer aldığı bir önermeler kümesidir. Böyle bir S durum betimlemesi verildiğinde: Bir p atomik önermesinin S durum betimlemesine göre doğru olması p önermesinin S durum betimlemesinin (yani S kümesinin) elemanı olması demektir (Sembollerle gösterildiğinde p ∈ S).

Carnap mantıksal zorunluluk kavramını geçerlilik kavramı ile aynı anlama gelecek biçimde tanımlamaktadır. Onun semantiğinin en önemli özelliklerinden biri sayılabilir sonsuz sabit bir evren varsayımına dayanmasıdır. Carnap semantiğinin diğer bir sonucu kipli mantık için yerine koyma ilkesinden vazgeçmemizin gerekli olduğudur.

Çağdaş mantıkta kipli önermelerin yorumlanması konusunda en önemli adım Saul Kripke’nin olanaklı dünya semantiğini geliştirmesidir. Kipli önermeler mantığı için Kripke semantiğinin bugün yaygın olarak kullanılan son biçimine göre bir Kripke modeli;

Boş olmayan (en az 1-elemanlı) bir olanaklı dünyalar kümesi
Bu küme üzerinde 2-li bir ulaşılabilirlik bağıntısı
Atomik önermelere her bir olanaklı dünyada bir doğruluk değeri atayan bir doğruluk değerlemesinden oluşmaktadır.

Modelin üzerinde kurulduğu olanaklı dünyalar kümesi ve bu küme üzerinde 2-li bağıntı birlikte modelin çerçevesini oluşturur. Kipli önermelerin yorumlanmasında temel adım, her bir olanaklı dünyada tüm önermelerin doğruluğunun belirlenmesidir. Bir atomik önermenin (önerme değişkeninin) w olanaklı dünyasında doğru olması modelin doğruluk değerlemesi tarafından bu atomik önermeye “doğru” değerinin verilmesi demektir.

A önermesinin w dünyasında doğru olması, A önermesinin w dünyasından ulaşılan her olanaklı dünyada doğru olması demektir. Carnap semantiği ile karşılaştırıldığında Kripke semantiğinin bu biçiminin oldukça esnek olduğu görülmektedir

Kripke semantiğinin bu son biçiminde modellerde yer alan “olanaklı dünyaların” her birinin farklı eleman sayısına sahip olabilmesi önemlidir.

Kaynak: Anadolu Üniversitesi Yayınları – Mantığın Gelişimi